科学空间昨天看到 @Ji_Ha_Kim 同学分享了一篇有趣的论文《Beyond Cosine Similarity》，里边提出基于排序不等式来构建新的更宽松的相似度指标，看了后感觉颇有意思，特来简单记录一下。
余弦相似度
对于两个向量$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^d$，常用的归一化相似度指标是余弦相似度：
\begin{equation}\cos(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \frac{\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}}{\Vert\boldsymbol{x}\Vert\, \Vert\boldsymbol{y}\Vert} \in [-1, 1]\end{equation}
抛开几何意义，从纯代数的角度看，余弦相似度是基于柯西不等式
\begin{equation}-\Vert\boldsymbol{x}\Vert\, \Vert\boldsymbol{y}\Vert \leq \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\leq \Vert\boldsymbol{x}\Vert\, \Vert\boldsymbol{y}\Vert\end{equation}